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关于C++ 01背包问题

发布时间:2019-09-16 10:24 来源:未知 编辑:admin

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  以背包问题为例,介绍了贪心法与动态规划的关系以及两个方案在解决背包问题上的比较。贪心法什么时候能取到最优界并无一般理论,但对于普通背包问题我们有一个完美的结果——贪心法可取到最优解。介绍了其它一些对背包问题的研究或者拓展。

  贪心算法是我们在《算法设计技巧与分析》这门课中所学习到的几种重要的算法之一,顾名思义,贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。也就是该算法并不从整体最优考虑,它所作出的选择只是在某种意义上的从局部的最优选择,寻找到解决问题的次优解的方法。虽然我们希望贪心算法得到的最终结果也是整体最优的,但是在某些情况下,该算法得到的只是问题的最优解的近似。

  ——从问题的某一个初始解出发逐步逼近给定的目标,以尽可能快的地求得更好的解。当达到某算法中的某一步不能再继续前进时,算法停止。

  (ii)若jsi, V[i,j] = V[i-1,j](仅用最优的方法,选取前i-1项物品装入体积为j的背包,因为第i项体积大于j,装不下这一项,所以背包里面的i-1项就达到最大值)

  //V[i,j]表示从前i项{u1,u2,…,un}中取出来的装入体积为j的背包的物品的最大//价值。[13]

  (i)一种贪婪准则为:从剩余的物品中,选出可以装入背包的价值最大的物品,利用这种规则,价值最大的物品首先被装入(假设有足够容量),然后是下一个价值最大的物品,如此继续下去。这种策略不能保证得到最优解。例如,考虑n=2, w=[100,10,10], p =[20,15,15], c = 105。当利用价值贪婪准则时,获得的解为x= [ 1 , 0 , 0 ],这种方案的总价值为2 0。而最优解为[ 0 , 1 , 1 ],其总价值为3 0。

  (ii)另一种方案是重量贪婪准则是:从剩下的物品中选择可装入背包的重量最小的物品。虽然这种规则对于前面的例子能产生最优解,但在一般情况下则不一定能得到最优解。考虑n= 2 ,w=[10,20], p=[5,100], c= 2 5。当利用重量贪婪策略时,获得的解为x =[1,0],比最优解[ 0 , 1 ]要差。

  (iii)还有一种贪婪准则,就是我们教材上提到的,认为,每一项计算yi=vi/si,即该项值和大小的比,再按比值的降序来排序,从第一项开始装背包,然后是第二项,依次类推,尽可能的多放,直到装满背包。

  有的参考资料也称为价值密度pi/wi贪婪算法。这种策略也不能保证得到最优解。利用此策略试解n= 3 ,w=[20,15,15], p=[40,25,25], c=30时的最优解。虽然按pi /wi非递(增)减的次序装入物品不能保证得到最优解,但它是一个直觉上近似的解。

  而且这是解决普通背包问题的最优解,因为在选择物品i装入背包时,可以选择物品i的一部分,而不一定要全部装入背包,1≤i≤n。

  如图1,大体上说明了动态规划解决的0/1背包问题和贪心算法解决的问题之间的区别,

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