您好、欢迎来到现金彩票网!
当前位置:ds视讯 > 分支限界搜索 >

分枝定界法 - 豆丁网

发布时间:2019-09-01 08:09 来源:未知 编辑:admin

  整数规划分枝定界法 整数规划 在许多线性规划问题中,要求最优解必须取整数.例如 所求的解是机器的台数、人数车辆船只数等.如果所得的解 中决策变量为分数或小数则不符合实际问题的要求. 对于一个规划问题,如果要求全部决策变量都取整数, 称为纯(或全)整数规划;如果仅要求部分决策变量取整数, 称为混合整数规划问题.有的问题要求决策变量仅取0或l两 个值,称为0-l规划问题. 整数规划简称为IP问题.这里主要讨论的是整数线性规 划问题,简称为ILP问题. 对于整数线性规划问题,为了得到整数解,初看起来,似乎只 要先不管整数要求,而求线性规划的解,然后将求得的非整 数最优解“舍零取整”就可以了.但实际上,这个想法却常常行 不通,有时“舍零取整”后的整数解根本就不是可行解,有虽 然为可行解,却不是最优解 例7.0.1某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物,每箱的体积、 重量、可获利润以及托 运所受限制见表7.1.问每集装箱中 两种货物各装多少箱,可使所获利润最大? 7.1货物/箱 体积/米 重量/百斤利润/百元 10托运限制/集 装箱 24 13 分别为甲、乙两种货物的托运箱数.则这是一个纯整数规划问题 .其数学模型为: 1020 max 若暂且不考虑取整数这一条件.则(1)就变为下列 线 max ,但它不是式(1)的可行解.因为它不满足(1) 中的约束条件, 的可行解,但它却不是(1) 的最优解, 因为当X 即伴随规划的最优解通过“ 都不是(1)的最优解.因此通 过伴随规划最优解的“ 的办法,一般得不到原整数 规划问题的最优解. 若伴随规划(2)的可行域K 是有界的,则原整数规划(1)的可行 应是K中有限个格点(整数点)的集合.见图1,图中“* 为整数点(格点). 中四边形OABC 是伴随 规划(2)的可行域.它的最优解 ={(0,0),(0,1),(0,2), (1,0),(1, l),(1,2), (2,0), (2,1),(3,0), (3,1),(4,0),(4, 中,但不是(1)的最优解,最优解在B点.当然, 我们也会想到能否用“穷举法”来求解整数规划.如(1) 问题,将 中所有整数点的目标函数值都计算出来,然后逐一比较找出最优解.这种方法对变量所能取的整数值个数较少 时,勉强可以应用.如本例 可取 共5个数值.而只能取0,1,2共三个数值,因此其组合最多 为15个(其中有不可行的点).但对大型问题,这种组合数的 个数可能大得惊人! 如在指派问题中,有n 项任务指派n个 人去完成,不同的指派方案共有n! ,这个数超过210 18 显然“穷举法” 并不是一种普遍有效的方法.因此研究求解 整数规划的一般方法是有实际意义的.自20世纪60年代以来, 已发展了一些常用的解整数规划的算法,如各种类型的割平 面法、分枝定界法、解 0-1 规划的隐枚举法、 分解方法、群论方法、动态规划方法等等。近十年来有人 发展了一些近似算法及用计算机模拟法,也取得了较好的效 分枝定界法在20世纪60年代初 Land Doig Dakin等人提出了分枝 定界法.由于该方法灵活且便于用计算机求解,所以目前已 成为解整数规划的重要方法之一.分枝定界法既可用来解纯 整数规划,也可用来解混合整数规划. 分枝定界法的主要思路是首先求解整数规划的伴随规划 如果求得的最优解不符合整数条件,则增加新约束——缩小可行域;将原整数规划问题分枝——分为两个子 规划,再解子规划的伴随规划……通过求解一系列子规划的 伴随规划及不断地定界 .最后得到原整数规划问题的整数最 某公司计划建筑两种类型的宿舍.甲种每幢占地0.2510 幢,乙种宿舍不超过4幢.甲种宿舍每幢利润为10万元,乙种宿舍利润为每幢20万元.问该公司应 计划甲、乙两种类型宿舍各建多少幢时,能使 公司获利最大 设计划甲种宿舍建幢,乙种宿舍建 幢,则本题数学 模型为 1020 max 这是一个纯整数规划问题,称为问题。将(1)中约束条件 的系数全化为整数,改为:60 然后去掉整数条件,得到问题的伴随规划 称之为问题 1020 max 计算原问题目标函数值的初始上界 因为问题的最优解不满足整数条件,因此 不是问题 的最优解,又因为 的可行域 问题 的可行域 故问题的最优值不会超过问题 的最优值. 即有 因此可令作为 的初始上界 一般说来,若问题无可行解,则问题 也无可行解,停止计 算。若问题的最优解 满足问题 的整数 条件,则也是问题 的最优解,停止计算. 计算原问题目标函数值的初始下界 若能从问题的约束条件中观察到一个整数可行解,则可将 其目标函数值作为问题 目标函数值的初始下界,否则可令 初始下界Z=-.给定下界的目的,是希望在求解过程中寻找 比当前 更好的原问题的目标函数值 增加约束条件将原问题分枝当问题 的最优解 不满足整数条件时,在 中任选一个 不符合整数条件的变量.如本例选 显然问题 ,而绝不会在5与6之间.因此当将可行域 切去 部分时,并没有切去 切去部分的目的. 切去 两部分,即问题分为问题 及问题 两枝子 规划. 1020 max 1020 max 作出问题的伴随规划 则问题 的可行 见图2(b).以下我们将由同一问题分解出的两 个分枝问题称为一对分枝. 分别求解一对分枝在一般情况下,对某个分枝问题(伴随规划)求解时,可能出现 以下几种可能: 无可行解若无可行解,说明该枝情况己查明,不需要由此分枝再继续 分枝,称该分枝为 树叶. 得到整数最优解若求得整数最优解,则该枝情况己查明,不需要再对此继续 分枝,该分枝也是 树叶. 得到非整数最优解若求得某个分枝问题得到的是不满足整数条件的最优解, 还要区分两种情况: 该最优解的目标函数值Z小于当前的下界 该最优解的目标函数值Z大于当前的下界,则仍需对 该枝继续分枝,以查明该分枝内是否有目标函数值比当前 本例中问题及问题 的模型及求解结果如下: 1020 max 1020 max 是整数最优解,它当然也是问题的整数可行解,故 的整数最优解 即此时可将修改为: 同时问题也被查清, 成为“树叶”。 因为,不满足整数条件, 故问题 分别增加约 束条件: 两枝,建立相应的 伴随规划——问题 1020 max 1020 max 因为,问题 无可行解,此问题已 是树叶, 已被查清. 修改下界的时机是:每求出一个整数可行解时,都要作修改下界 的工作. 修改下界的原则:在至今所有计算出的整数可行解中,选 目标函数值最大的那个作为最新下界 因此在用分枝定界法的求解全过程中,下界是不断增大的. 上界的修改时机是:每求解完一对分枝,都要考虑修改上界 修改上界的原则是:挑选在迄今为止所有未被分枝的问题的 目标函数值中最大的一个作为新的上界.新的上界 应该小于 原来的上界 在分枝定界法的整个求解过程中,上界的值在不断减小.问题 1020 max 1020 max 因为此时的解为整数解,因此修改下界为 =130, 时所有未被分枝的问题()的目标函数值中最大的 故修改上界=130. 结束准则当所有分枝均已查明(或无可行解——“树叶”, 或为整数可 行解——“树叶”,或其目标函数值不大于下界 ——”枯枝”) 且此时,则已得到了原问题的整数最优 解,即目标函数值为下界的那个整数解 是树叶,为枯枝, 因此所有分枝( 均已查明.故已得到问题的最优解: 故该公司应建甲种宿舍7幢乙种宿舍3幢;或甲种5幢、乙 种4幢时,获利最大.获利为130万元. 可将本例的求解过程与结果用图5 来描述. 问题 不可行132 下面将分枝定界法求解混合型整数规划的计算步骤归纳如下:第1步:将原整数线性规划问题称为问题 .去掉问题 的整数条件,得到伴随规划问题 也没有可行解,停止计算. 得到的最优解, 且满足问题 的整数条件, 最优解也是的最优解, 停止计算. 得到不满足问题的整数条件的 这时需要对问题(从而对问题 行分枝,转下一步. 得到不满足问题的整数条件的 的最优解, 观察出问题的一个整数可行解,将其 目标函数值记为下界 将问题分枝. 的最优解中,任选一个不符合整数条件的变量 表示小于的最大整数.构造两 将这两个约束条件分别加到问题的约束条件集中,得到 的两个分枝:问题 分枝无可行解——该分枝是树叶. 求得该分枝的最优解,且满足 的整数条件. 将该最 优解的目标函数值作为新的下界 求得该分枝的最优解,且不满足的整数条 则该分枝是“枯枝”需要剪枝. 求得不满足整数条件的该分枝的最优解,且其目标 函数值大于当前下界 ,则该分枝需要继续进行分枝. 若得到的是前三种情形之一,表明该分枝情况已探明,不需要继续分枝. 若求解一对分枝的结果表明这一对分枝都需要继续分枝,则 可先对目标函数值大的那个分校进行分枝计算,且沿着该分 枝一直继续进行下去,直到全部探明情况为止.再返过来求 解目标函数值较小的那个分枝. 第6步:修改上、下界. 修改下界:每求出一次符合整数条件的可行解时, 都要考虑修改下界 修改上界:每求解完一对分枝,都要考虑修改上界 上界的值应是迄今为止所有未被分枝的问题的目标函数值 中最大的一个. 后,若已有此时所有分枝均已查明,即得到了问题 的最优值 求解结束.若仍有 ,则说明仍有分枝没查明,需要继续分枝,

http://gamesbaby.net/fenzhixianjiesousuo/763.html
锟斤拷锟斤拷锟斤拷QQ微锟斤拷锟斤拷锟斤拷锟斤拷锟斤拷锟斤拷微锟斤拷
关于我们|联系我们|版权声明|网站地图|
Copyright © 2002-2019 现金彩票 版权所有