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混合流水车间调度的分支定界算法跟下界改进pdf

发布时间:2019-07-02 18:13 来源:未知 编辑:admin

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  2001中国控制与决策学术年畚论文集 混合流水车间调度的分支定界算法和下界改进。 唐立新吴亚萍 (东北大学信息科学与工程学酷沈甩110006) 摘要碧出了目标两敷为量小化量大完成时闻的k-卧段混台洗水车闻非{}列捧序调度问题 的舟支定界算法.舟绍了此盎问意特珠的复杂的分支树构建过程.根据舟支树特点,提出了诫类 用意的一十新的下界.对9种』可恕规模共90组喧机鼓格进行了算法性他嗣试,实驻仿真结果表 明.新提出的下界算法使厍有算法提商了计算速度,改善了算法性能. 关t面生产调度,混台浇小车茸,分支定并,下幂f ’ √ 、J √ l引 言 混合流水车闻由一系刊生产阶殷组成,每个阶段有多个并行处理器。解决一般流水车间调 度问题,只需给出各个阶段的工件优化加工顺序。而混台流水车问的调度问题包括两个子问 题:各个阶段不同处理器上的工件分配;每个处理器上的工件排序。这大大增加了同题的复杂 性。 !一rH一11一t Brah叫指出,此类调度问题工件可能的顺序组台有N=Ⅱ』^,。l孟;午种。其中,一为 j-1。1“J一… 工件数,m为阶段数,尬为j阶段的并行处理器数目。可见随着问题规模的增大,求解复杂程度 将急剧上升。Gupta口3指出,混台流水车间调度问题的2一阶段求解是N—P难问题;Hoogeveen 等01指出,即使是具有优先级的混合流水车间调度问题也是N—P难问题。目前大部分研究工 作是针对2一阶段调度问题展开的,一些启发式算法多是解决2一阶段或3-阶段问题的,多于两 个阶段调度问题的研究工作还未系统展开。关于这一问题的最优求解,Brah和Hunsucker…提 出用分支定界算法,理论上可以解决多阶段混合流永车间调度I可题,但在算法时阊上受到很大 的限制。 针对非排列排序问题,本文提供了求解目标函数为最小化最大完成时间舶混合流水车间 调度问题的最优算法——分支定界算法,并提出了一个新的下界。新提出的下界很大程度上 提高了算法的计算速度,改进了算法性能。 2分支定界算法 2.1分支树构建 分支树上有两种不同类型的节点:圈节点和框节点。当分支经过圈节点i时,表示工件i教 安排在当前处理器上{当分支经过框节点i时,表示工件i被安排在一个新的处理箍上。Brah和 Hunsucker给出了分支树详细构建过程及规则啪。 ·国家自然科学基金嘎目(79700。06),教育都优秀年轻教师基金疆目.中国科学陆机嚣^学开艘实验室理目 736 2.2下界的确定 定义1尸“为工件i在J阶段的处理时间;Ⅳ代表所有工件集合,A为当前阶段j已调度的 工件集合;口为将要加入工件集合^的候选未调度工件号,口奇A;A’为工件集合A的扩展,A’ =A十{口);s,(A)为当前阶段已完成的子调度,包括:前J一1个阶段全部工件的分配和处理 顺序以及当前阶段j已调度工件集合A的分配和顺序安排;R[s,(A),^]为子调度sj(^)下j 个阶段调度开始状态;G.,为工件i在阶段j的完成时间,i∈(1,2’..·,n}, 根据上面定义递归求解可得 m 啦c州,一[苯:黧≯矗r^”?警舭舡 ACTCs,(A‘)]表示在子调度s,(A’)已固定前提下,当前阶段j处理完所有工件后的工件 平均完成时间,由下式定义 心 (2) ACT[S,(Af)]={∑RES,(川),^]}/嵋+i。∑P“}/M 根据上述定义,Brah和Hunsucker口1提出的下界分别为: 1)基于机器的下界LBM[2] LBMIs,(A’)]一 (3) ACT[S,(A’)]≥McT[s,(删 【ACTI-S,(删+.如…,蚤,PF), 其 它 (4) 【MCT[S,(^’)]+卿?{∑乃). 2)基于工件的下界LBJ口3 (5) LBJES,(^f)]_。躲.僻隅(A7),^])+Ⅲma∥x(,蚤,%} 3)复合下界LBo] (6) LB[-S,(A7)]一max{LBMEs,(A’)],LBJEs,(A’)]) 3下界改进 本文深入研究问题性质,充分利用分支树的构建过程, 提出了充分反映问题性质的更有效的下界。根据分支构建 过程,田1表示已调度工件集合和未调度工件集合的大致 分配情况。该图有助于理解改进方案。 3.1 基于机器的下界LBM’ N一^ 定义2女。为当前正在使用的处理器;屿一^-+1为 未调度工件集Ⅳ一A7的工件在当前阶段可使用的处理器 数目。 圈1 工件集合处理■分E情况 在子调度舅(^’)已知情况下,完成所有工件加工后当 前阶段j剩下可用处理器的平均完成时间为 737 ACT7Is,(A’)]={∑R[sj(A’),^]}/(鸲一^。+1)+ ^。●1 {∑P。}/(M一^。+1) (7) 在子调度SJ(A。)已知情况下,当前阶段,已用处理器的最大完成时筒为 McT7[Sj(A’)]一,:喜鋈{R∞,(A7),矗]) (8) 改进的基于机器的下界表达式为 LBM7陋,∽7)]= (9) mx{AcT7[s,(A‘)]+。暮I{,蚤。%},MCT西(Af’]+,善。气,,j MCTIs,(川)]的大小来判断阶段J最后结束加工的工件来自哪个集合{然后在该集合中选一 个在后续阶段的处理时间和最小的工件来参与求解LBM,如式(3)和(4)所示。通过仔细研 究,在式(3)和(4)中可以发现几个问题。下面是存在问题的描述和改进策略: 1)ACT[S,(4’)]不能克分代表未调度工件在J阶段的完成时间特性。因为它把整个阶段 的所有处理器都考虑进去(已调度工件也参与平均),而从图1知,未调度工件只能在当前处理 器及当前处理器之后的处理器上加工。因此,为了能够更接近于未调度工件的实际情况,在改 MCTEs,(A7)]的大小,可以完全确定最后离开J阶段的工件i。所在的集合:如果 可能是一个框节点,可直接使用下一个未使用处理器)I否则f’来自A’。 2)在式(4)中,运用已诩度工件集合来求解LBM。式(4)的后半部分表示在且’中选一个 工件(它的后续阶段处理时间和最小)来估计下界。其实,这里完全可以在A’中确定一个工件 来计算其后续阶殷的处理时间之和,从而提高下界。下面来确定这样一个工件如。假设 唧一罢警{c“} (10) 则有下式成立 MCT[Sj(A’)]=Gd (11) 这样就得到了工件集A『中最后离开阶段J的工件札于是器蛩{,美,PF)就可以由,磊,PV来 取代-显然t,善,氏, ra,。in{,,互。尸F),所以提高了下界值· 3)根据1),2)两个步骤,可以将式(3)和(4)改进为如下表达式 LBM[Sj(-4’)]一 ‘1“’ fACT’[SAA7)]+刚mi—n.{,善,乃),AcT’[Sj(∽]≥McT’【sJ‘∽] 1 。 其 它 (12.2) IMCT/-S,(∥)]+∑P√, 在式(3)和(4)中,如果条件1)不满足,则式(3)并不能作为问题的下界,这是由于 ACTCs,(A’)]定义的局限性造成的.而式(12.1)和(1&2),如果不肴每个式子后面的条件,则 738 前面的式子依然是问题的下界:第一个式子是由未调度工件集合得出的下界I第二个式子是由 已调度工件集合得出的下界.另外,即使ACT7Es,(A’)]≥MCT蹬,(A’)],仍有可能满足下式 (13) AcT’口,(川)]+Ⅻrai“n!,晷。%}McTES,(A,)]+,善。P;√ 综上所述,改进后的基于机器的下界为 LBM’Es,cA’)]2mix{ACT,[只(^f)]+。rai√n f,蚤,乃}t MCT‘ESj(A‘)]+∑P。D,} (“) ,-j+l 3.2 基于工件的下界LBJ, [BJ (15) 7@(以’)]一^罢‰‘R[Ss(AⅢ]}+。嚣恐{,蚤。声口} 调度工件最早可以开始加工的时间,第二项表示任一未调度工件都得完成加工(包括待加工阶 段处理时间和最大的工件)。由图1可以看到,未调度工件是分配在包括当前处理器^-之后的 处理器上,因此,其最早可以开始加工时问决定于包括当前处理器后的本阶段所有其它处理器 e])。显然 的释放时间·1ffl2.2.式(5)中第一项可以改进为‘霉‰,f月口,(A’),k ‘罢‰,嘏口,(A’),^7]渗。想,{R口,(川),F]) 3.3 蔓台下界LB (16) LB,[sj(A’)]=max{LBM,[S(^’)],LBJ’邸』(^’)]) 本文后面列出的结果效据都是以复合下界LB和LB’为下界计算而得到的。 毫1 不同定再方击的分支定鼻算氇的计算聪栅比较 739 4 混合流水车间分支定界算法的性能实验 作者在Pentium I系列主频667的计算机上进行了实验仿真,通过比较同种问题规模的 计算时问(见表1)和当前最优解的更新速率(见图2)。实验证明本文提出的薪的下界提高了算 法的计算速度,更具有有教性。性能测试实验中共测试了9种问题规模,针对每种问题规模随’ 机产生10组实验数据(工件在各阶段的处理时间为[1,500]范围内均匀分布的随机数)。其中 LBl代表Brah和Hunsucker提出的定界方法,LB2代表本文提出的新的定界方法。 由表1可以发现,本文提出的新的下界 在性能上优于Brah和Hunsucker提出的定 界方法:计算速度太大加快,9种问题规模共 90组数,平均计算速度提高9倍之多}算法搜 索到达分支树最底层的节点数也相对有所减 少,这在一定程度上说明剪枝的敷率有所提 高。 整个算法过程是当前最优解C.min不断 更新直到达到问题真实最优解的过程。C.rain 的更新速率反映了算法的计算速度和搜索及 剪枝效率,直接反映算法的性能好坏。图2给 time(。) Compulation 出了两种定界方法的C.rain更新速辜对比, LB2所代表的C.rain随时间变化的更新曲线 当t量优■更新追车比较 非常陡,且能较快地到达问题最优点}而LBl 所指向的C。rain的更新曲线相对较平缓,特别是在计算的后阶段。 5 结 论 .混合流水车间调度问题日益受到学术界的关注.但因本身问题的复杂性和求解的难度,目 前的研究工作多局限在2.阶段或3一阶段启发式求解上。本文介绍了混合流水车间调度同题的 分支定界算法,并以最小化最大完成时问为目标函数,提出了一种新的下界算法,详细介绍了 这一问题的特殊的分支树生成过程和算法实现流程。本文采用9种问题规模共90组隧机数据 对算法性能进行了仿真测试,并与Brah和Hunsucker提出的下界算=击进行比较.结果表明, 本文提出的新的下界计算速度比Brah和Hunsacker的下界算法平均提高了9倍之多,大大改 进了算法性能。 参考文献 in tflow with Houston·1988.30-33· ptcceslorg.Hou·tOlhu棚竹。f S九Schedulingshop multiCe [1]BrIh d R删eh r359’36t· Nn Ot睫atlond Society,1988,38 J Two-eLtageflowshopscheduli雌problem.J [2]Gupta bbrkl 口]Hoogt懈n b.tronglyNP—hard- EllropeanJ0f R.earch, Operational JL.&^耻b ofOpera- [42Br止SA,H血auckr do阻I Research.1991.51lB8_99. 740 混合流水车间调度的分支定界算法和下界改进 作者: 唐立新, 吴亚萍 作者单位: 东北大学信息科学与工程学院(沈阳) 本文链接:/Conference_258753.aspx

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