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回溯法和分支限界法

发布时间:2019-07-02 18:13 来源:未知 编辑:admin

  回溯法 ? 有许多问题,当需要找出它的解集或者要求回答什么 ? ? 解是满足某些约束条件的最佳解时,往往要使用回溯 法。 回溯法的基本做法是搜索,或是一种组织得井井有条 的,能避免不必要搜索的穷举式搜索法。这种方法适 用于解一些组合数相当大的问题。 回溯法在问题的解空间树中,按深度优先策略,从根 结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任意 一点时,先判断该结点是否包含问题的解。如果肯定 不包含,则跳过对该结点为根的子树的搜索,逐层向 其祖先结点回溯;否则,进入该子树,继续按深度优 先策略搜索。 1 问题的解空间 ? 问题的解向量:回溯法希望一个问题的解能够表示成一个n ? ? ? 元式(x1,x2,…,xn)的形式。 显约束:对分量xi的取值限定。 隐约束:为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束。 解空间:对于问题的一个实例,解向量满足显式约束条件的 所有多元组,构成了该实例的一个解空间。 注意:同一个问题可以有多种表示,有些表示方法更简单, 所需表示的状态空间更小(存储量少,搜索方法简单)。 2 问题的解空间 n=3时的0-1背包问题用完 全二叉树表示的解空间 子集树 1 30 2 6 3 4 20 要到若干城市推销商品, 已知各个城市之间的路程 10 (或旅费)。他要选定一 条从驻地出发,经过每个 城市一遍,最后回到驻地 的路线,使总的路线(或 旅费)最小。 排列树 3 旅行商问题:某售货员 生成问题状态的基本方法 ? 扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点 ? 活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点 ? ? 称做活结点 死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点 深度优先的问题状态生成法:如果对一个扩展结点R,一 旦产生了它的一个儿子C,就把C当做新的扩展结点。在 完成对子树C(以C为根的子树)的穷尽搜索之后,将R 重新变成扩展结点,继续生成R的下一个儿子(如果存在) 宽度优先的问题状态生成法:在一个扩展结点变成死结 点之前,它一直是扩展结点 回溯法:为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状 态,要不断地利用限界函数(bounding function)来处 死那些实际上不可能产生所需解的活结点,以减少问题 的计算量。具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法 4 ? ? 回溯法的基本思想 (1)针对所给问题,定义问题的解空间; (2)确定易于搜索的解空间结构; (3)以深度优先方式搜索解空间,并在搜索过程中 用剪枝函数避免无效搜索。 常用剪枝函数: 用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树; 用限界函数剪去得不到最优解的子树。 用回溯法解题的一个显著特征是在搜索过程中动态产生问题的 解空间。在任何时刻,算法只保存从根结点到当前扩展结点的 路径。如果解空间树中从根结点到叶结点的最长路径的长度为 h(n),则回溯法所需的计算空间通常为O(h(n))。而显式地存储 整个解空间则需要O(2h(n))或O(h(n)!)内存空间。 5 递归回溯 回溯法对解空间作深度优先搜索,因此,在一般情况下 用递归方法实现回溯法。 void backtrack (int t) { if (tn) output(x); else for (int i=f(n,t);i=g(n,t);i++) { x[t]=h(i); if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1); } } 6 采用树的非递归深度优先遍历算法,可将回溯法表示为一个非 递归迭代过程。 迭代回溯 void iterativeBacktrack () { int t=1; while (t0) { if (f(n,t)=g(n,t)) for (int i=f(n,t);i=g(n,t);i++) { x[t]=h(i); if (constraint(t)&&bound(t)) { if (solution(t)) output(x); else t++;} } else t--; } 7 子集树与排列树 遍历子集树需O(2n)计算时间 void backtrack (int t) { if (tn) output(x); else for (int i=0;i=1;i++) { x[t]=i; if (legal(t)) backtrack(t+1); } } 遍历排列树需要O(n!)计算时间 void backtrack (int t) { if (tn) output(x); else for (int i=t;i=n;i++) { swap(x[t], x[i]); if (legal(t)) backtrack(t+1); swap(x[t], x[i]); } 8 } 在n×n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际象 棋的规则,皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线 上的棋子。n后问题等价于在n×n格的棋盘上放置n个皇后,任 何2个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线 Q Q Q Q Q Q Q n后问题 Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ?解向量:(x1, x2, … , xn) ?显约束:xi=1,2, … ,n ?隐约束: 1)不同列:xi?xj 2)不处于同一正、反对角线:i-j?xi-xj int n=8; int x[9]; int num = 0; //解的个数 //判断第k个皇后能否放在第x[k]列 bool Place(int k) { int i = 1; while( i k) { if( x[i]==x[k] (abs(x[i]-x[k]) == abs(i-k)) ) return false; i++; } return true; } n后问题 10 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? void nQueens(int n) { x[0] = x[1] =0; int k=1; while(k 0) { x[k]+=1; //转到下一行 while (x[k]=n && Place(k)==false) { //如果无解,最后一个皇后就会 安排到格子外面去 x[k]+=1; } if(x[k]=n) { //第k个皇后仍被放置在格子内, 有解 if(k==n) { num++; cout num :\t; for( int i=1; i=n; i++) { cout x[i] \t; } cout endl; } ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? else { k++; x[k]=0; //转到下一行 } } else //第k个皇后已经被放置到格 子外了,没解,回溯 k--; //回溯 } } int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]) { nQueens(n); getchar(); return 0; } ?解空间:子集树 n wi xi ? c1 ?可行性约束函数: ? i ?1 ?上界函数: private static double bound(int i) {// 计算上界 double cleft = c - cw; // 剩余容量 double bound = cp; // 以物品单位重量价值递减序装入物品 while (i = n && w[i] = cleft) { cleft -= w[i]; bound += p[i]; i++; } // 装满背包 if (i = n) bound += p[i] / w[i] * cleft; return bound; } 0-1背包问题 12 进一步改进算法的建议 ?选择合适的搜索顺序,可以使得上界函数更有效的 发挥作用。例如在搜索之前可以将顶点按度从小到大 排序。这在某种意义上相当于给回溯法加入了启发性。 ?定义Si={vi,vi+1,...,vn},依次求出Sn,Sn-1,...,S1的解。 从而得到一个更精确的上界函数,若cn+Si=max则 剪枝。同时注意到:从Si+1到Si,如果找到一个更大 的团,那么vi必然属于找到的团,此时有Si=Si+1+1, 否则Si=Si+1。因此只要max的值被更新过,就可以确 定已经找到最大值,不必再往下搜索了。 13 回溯法效率分析 通过前面具体实例的讨论容易看出,回溯算法的 效率在很大程度上依赖于以下因素: (1)产生x[k]的时间; (2)满足显约束的x[k]值的个数; (3)计算约束函数constraint的时间; (4)计算上界函数bound的时间; (5)满足约束函数和上界函数约束的所有x[k]的个 数。 好的约束函数能显著地减少所生成的结点数。但 这样的约束函数往往计算量较大。因此,在选 择约束函数时通常存在生成结点数与约束函数 计算量之间的折衷。 14 对于许多问题而言,在搜索试探时选取x[i]的值顺序是任意的。 在其他条件相当的前提下,让可取值最少的x[i]优先。从图中 关于同一问题的2棵不同解空间树,可以体会到这种策略的潜 力。 (a) 重排原理 (b) 图(a)中,从第1层剪去1棵子树,则从所有应当考虑的3元组中 一次消去12个3元组。对于图(b),虽然同样从第1层剪去1棵子 树,却只从应当考虑的3元组中消去8个3元组。前者的效果明 15 显比后者好。 分支限界法 ? 类似于回溯法,也是一种在问题的解空间树T 上搜索问题解的算法。但在一般情况下,分支限 界法与回溯法的求解目标不同。回溯法的求解目 标是找出T中满足约束条件的所有解,而分支限界 法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解, 或是在满足约束条件的解中找出使某一目标函数 值达到极大或极小的解,即在某种意义下的最优 解。 ? 所谓“分支”就是采用广度优先的策略,依次 搜索E-结点的所有分支,也就是所有相邻结点, 抛弃不满足约束条件的结点,其余结点加入活结 点表。然后从表中选择一个结点作为下一个E-结 点,继续搜索。 选择下一个E-结点的方式不同,则会有几种不 同的分支搜索方式。 1)FIFO搜索 2)LIFO搜索 3)优先队列式搜索 ? 由于求解目标不同,导致分支限界法与回溯法 在解空间树T上的搜索方式也不相同。回溯法以深 度优先的方式搜索解空间树T,而分支限界法则以 广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树T。 分支限界法的搜索策略是:在扩展结点处,先 生成其所有的儿子结点(分支),然后再从当前 的活结点表中选择下一个扩展对点。为了有效地 选择下一扩展结点,以加速搜索的进程,在每一 活结点处,计算一个函数值(限界),并根据这 些已计算出的函数值,从当前活结点表中选择一 个最有利的结点作为扩展结点,使搜索朝着解空 间树上有最优解的分支推进,以便尽快地找出一 个最优解。 ? 分支限界法常以广度优先或以最小耗费(最大效益)优 先的方式搜索问题的解空间树。问题的解空间树是表示问 题解空间的一棵有序树,常见的有子集树和排列树。在搜 索问题的解空间树时,分支限界法与回溯法对当前扩展结 点所使用的扩展方式不同。在分支限界法中,每一个活结 点只有一次机会成为扩展结点。活结点一旦成为扩展结点, 就一次性产生其所有儿子结点。在这些儿子结点中,那些 导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃,其余儿 子结点被子加入活结点表中。此后,从活结点表中取下一 结点成为当前扩展结点,并重复上述结点扩展过程。这个 过程一直持续到找到所求的解或活结点表为空时为止。 回溯法和分支限界法的一些区别 ? 有一些问题其实无论用回溯法还是分支限界法都可以得 到很好的解决,但是另外一些则不然。也许我们需要具体 一些的分析——到底何时使用分支限界而何时使用回溯呢? 回溯法和分支限界法的一些区别: ? 两种方法对解空间树的搜索方式 存储结点的常用数据 结构 结点存储特性常用应用 ? 回溯法: 深度优先搜索堆栈活结点的所有可行子结 点 被遍历后才被从栈中弹出 找出满足约束条件的所有 解 ? 分支限界法: 广度优先或最小消耗优先搜索队列 优先 队列 每个结点只有一次成为活结点的机会 找出满足约束 条件的一个解或特定意义下的最优解

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