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整数规划及分支定界法ppt

发布时间:2019-06-18 14:03 来源:未知 编辑:admin

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  (P1)两个子问题: (P4)Max Z=4x1+3x2 s.t. 3x1+4x2 ? 12 4x1+2x2 ? 9 x1,x2 ? 0 ,x1 ? 1, x2 ? 3整数 用单纯形法可解得相应的(P4)的最优解(0,3) Z=9 * * * 第三章 整数规划 3-1 整数规划问题 整数规划是一类要求变量取整数值的数学规划,可分成线性和非线性两类。 根据变量的取值性质,又可以分为全整数规划,混合整数规划,0-1整数规划等。 整数规划是数学规划中一个较弱的分支,目前只能解中等规模的线性整数规划问题,而非线性整数规划问题,还没有好的办法。 例3-1:一登山队员做登山准备,他需要携带的物品有:食品,氧气,冰镐,绳索,帐篷,照相机和通讯设备,每种物品的重要性系数和重量如下:假定登山队员可携带最大重量为25公斤。 10 4 8 14 18 15 20 重要系数 4 2 12 6 2 5 5 重量 设备 相机 帐篷 绳索 冰镐 氧气 食品 物品 7 6 5 4 3 2 1 序号 解:如果令xi=1表示登山队员携带物品i,xi=0表示登山队员不携带物品i,则问题表示成0-1规划: Max Z= 20x1+15x2 +18x3 +14x4 +8x5 +4x6 +10x7 s.t. 5x1 + 5x2 +2x3 +6x4 +12x5 +2x6 +4x7 ?25 xi=1或xi=0 i=1,2,….7 例3-2 背包问题( Knapsack Problem) 一个旅行者,为了准备旅行的必须用品,要在背包内装一些最有用的东西,但有个数限制,最多只能装b公斤的物品,而每件物品只能整个携带,这样旅行者给每件物品规定了一个“价值”以表示其有用的程度,如果共有n件物品,第j件物品aj公斤,其价值为cj.问题变成:在携带的物品总重量不超过b公斤条件下,携带哪些物品,可使总价值最大? 解:如果令xj=1表示携带物品j,xj=0表示不携带物品j,则问题表示成0-1规划: Max Z = Σcjxj s.t. Σajxj ? b xj=0 或1 数学模型 整数规划(IP)的一般数学模型: Max (min) Z = Σcjxj s.t. Σaijxj ? bi(i=1,2,…m) xj ? 0且部分或全部是整数 解法概述 当人们开始接触整数规划问题时,常会有如下两种初始想法: 因为可行方案数目有限,因此经过一一比较后,总能求出最好方案,例如,背包问题充其量有2n-1种方式;连线问题充其量有n!种方式;实际上这种方法是不可行。 设想计算机每秒能比较1000000个方式,那么要比较完20!(大于2*1018)种方式,大约需要800年。比较完260种方式,大约需要360世纪。 先放弃变量的整数性要求,解一个线性规划问题,然后用“四舍五入”法取整数解,这种方法,只有在变量的取值很大时,才有成功的可能性,而当变量的取值较小时,特别是0-1规划时,往往不能成功。 例3-3 求下列问题: Max Z=3x1+13x2 s.t.2x1+9x2 ? 40 11x1-8x2 ? 82 x1,x2 ? 0,且取整数值 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 4 3 2 1 x1 x2 I(2,4) B(9.2,2.4) A D 可行域OABD内整数点,放弃整数要求后,最优解B(9.2,2.4) Z0=58.8,而原整数规划最优解I(2,4) Z0=58,实际上B附近四个整点(9,2)(10,2)(9,3)(10,3)都不是原规划最优解。 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 4 3 2 1 x1 x2 I(2,4) B(9.2,2.4) A D 假如能求出可行域的“整点凸包”(包含所有整点的最小多边形OEFGHIJ),则可在此凸包上求线性规划的解,即为原问题的解。但求“整点凸包”十分困难。 E F G H I J O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 4 3 2 1 x1 x2 I(2,4) B(9.2,2.4) A D 假如把可行域分解成五个互不相交的子问题P1 P2 P3 P4 P5之和, P3 P5的定义域都是空集,而放弃整数要求后P1最优解I(2,4),Z1=58 P2最优解(6,3),Z2=57 P4最优解(98/11,2),Z4=52(8/11) P1 P2 P4 X1 ? 2 X1 ? 6 X2 ? 3 X2 ? 2 X1 ? 3 X1 ? 7 X2 ? 4 X2 ? 3 P1 P5 P4 P2 P3 P 假如放弃整数要求后,用单纯形法求得最优解,恰好满足整数性要求,则此解也是原整数规划的最优解。 以上描述了目前解整数规划问题的两种基本途径。 分枝定界解法 (Branch and Bound Method) 原问题的松驰问题:任何整数规划(IP),凡放弃某些约束条件(如整数要求)后,所得到的问题(P) 都称为(IP)的松驰问题。 最通常的松驰问题是放弃变量的整数性要求后,(P)为线性规划问题。 分枝定界法步骤 一般求解对应的松驰问题,可能会出现下面几种情况: 若所得的最优解的各分量恰好是整数,则这个解也是原整数规划的最优解,计算结束。 若松驰问题无可行解,则原整数规划问题也无可行解,计算结束。 若松驰问题有最优解,但其各分量不全是整数,则这个解不是原整数规划的最优解,转下一步。 从不满足整数条件的基变量中任选 一个xl进行分枝,它必须满足xl ?[xl ] 或xl ?[xl ] +1中的一个,把这两个约束条件加进原问题中,形成两个互不相容的子问题(两分法)。 定界:把满足整数条件各分枝的最优目标函数值作为上(max)(下(min))界,用它来判断分枝是保留还是剪枝。 剪枝:把那些子问题的最优值与界值比较,凡不优或不能更优的分枝全剪掉,直到每个分枝都查清为止。 例5-6 用分枝定界法求解: Max Z=4x1+3x2 s.t. 3x1+4x2 ? 12 4x1+2x2 ? 9 x1,x2 ? 0 且为整数 用单纯形法可解得相应的松驰问题的最优解(6/5,21/10),Z=111/10为各分枝的上界。 0 1 2 3 4 4 3 2 1 x1 x2 分枝:X1 ? 1,x1 ? 2 P1 P2 两个子问题: (P1)Max Z=4x1+3x2 s.t. 3x1+4x2 ? 12 4x1+2x2 ? 9 x1,x2 ? 0 , x1 ? 1 ,整数 用单纯形法可解得相应的(P1)的最优解(1,9/4) Z=10(3/4) (P2)Max Z=4x1+3x2 s.t. 3x1+4x2 ? 12 4x1+2x2 ? 9 x1,x2 ? 0 , x1 ? 2 ,整数 用单纯形法可解得相应的(P2)的最优解(2,1/2) Z=9(1/2) 0 1 2 3 4 4 3 2 1 x1 x2 再对(P1)分枝:X1 ? 1 (P3) x2 ? 2 (P4) x2 ? 3 P1 P2 P3 P4 (P1)两个子问题: (P3)Max Z=4x1+3x2 s.t. 3x1+4x2 ? 12 4x1+2x2 ? 9 x1,x2 ? 0 ,x1 ? 1, x2 ? 2整数 用单纯形法可解得相应的(P3)的最优解(1,2) Z=10 * *

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